O uso correto segundo a gramática:Por que, porque, por quê ou porquê?

Por que (separado, sem acento)

Utiliza-se nas interrogativas, sejam diretas ou indiretas. É um advérbio interrogativo. Exemplos:


Por que ele foi embora? (interrogativa direta)
Queremos saber por que ele foi embora. (interrogativa indireta)


Dica: Coloque a palavra "motivo" ou "razão" depois de "por que". Se der certo, escreva separado, sem acento.
Queremos saber por que motivo ele foi embora.


Por que pode também equivaler a pelo qual, pela qual pelos quais, pelas quais, sendo o que, nesse caso, um pronome relativo. Exemplo:


Aquele é o quadro por que ela se apaixonou.


Dica: Substitua por que por "pelo qual, pelos quais, pela qual ou pelas quais":
Aquele é o quadro pelo qual ela se apaixonou.

Porque (junto, sem acento)

Estabelece uma causa. É uma conjunção subordinativa causal, ou coordenativa explicativa. Exemplos:


Ele foi embora porque cansou daqui.
Não vá porque você é útil aqui.


Dica: Substitua porque por "pois".
Ele foi embora pois se cansou daqui.


Também utiliza-se porque com o sentido de "para que", introduzindo uma finalidade: 
Ele mentiu porque o deixassem sossegado.

Por quê (separado, com acento)

Em final de frase ou quando a expressão estiver isolada, usa-se por quê. Exemplos:


Ele foi embora por quê?
Você é a favor ou contra? Por quê?

Porquê (junto, com acento)

Equivalendo a causa, motivo, razão, porquê é um substantivo. Neste caso ele é precedido pelo artigo o. Exemplo:


Não quero saber o porquê de sua recusa.


Dica: Substitua "porquê" por "motivo".
Não quero saber o motivo de sua recusa.